Uma análise do ponto de vista da Matemática Financeira, comparativa e elucidativa sobre a existência de capitalização composta de juros nos Sistemas de Amortização de Financiamentos e Empréstimos sugeridos e apresentados na Lei nº 11.977 de 07 de julho de 2009 - Programa Minha Casa, Minha Vida - PMCMV.
Anísio Costa Castelo Branco
CRA/SP 66.199
Introdução
A polêmica
principal do PMCMV no que diz respeito às questões financeiras, tem sua origem nos
seguintes artigos, a saber:
Art. 15-A. É
permitida a pactuação de capitalização de juros com periodicidade
mensal nas operações realizadas pelas entidades integrantes do Sistema
Financeiro da Habitação – SFH.
Art. 15-B. Nas
operações de empréstimo ou financiamento realizadas por intuições integrantes
do Sistema financeiro da Habitação que prevejam pagamentos por meio de
prestações periódicas, os sistemas de amortização do saldo devedor
poderão ser livremente pactuados com contrato, não podendo resultar em
valor diferente ao do empréstimo ou do financiamento concedido.
§ 3º Nas operações de empréstimos ou financiamento que dispõe o caput é obrigatório o oferecimento ao mutuário do
Sistema de Amortização Constante – SAC e
de, no mínimo, outro sistema de amortização que atenda o disposto nos §§ 1º 2 2º, entre eles o Sistema de Amortização Crescente – SACRE e o Sistema
Francês de Amortização (Tabela Price).
Portanto,
neste trabalho estaremos elucidando as questões polêmicas e comuns nos
contratos de financiamento no âmbito do Sistema Financeiro da Habitação – SFH,
sempre respaldados por fundamentos matemáticos e suas devidas comprovações
através de demonstrações práticas e exemplos didáticos.
1º QUESTÃO - O
que exatamente estuda a Matemática Financeira e por quê temos que entende-la?
Vejamos o
escreveram alguns autores do tema:
ü
A matemática financeira trata, em essência, do estudo do valor do
dinheiro ao longo do tempo. (ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e
suas aplicações. 10ª edição – São Paulo: Atlas, 2008.)
ü
A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do
dinheiro em função do tempo. (CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática
financeira aplicada: método algébrico, HP-12C , Microsoft Excel – 2ª edição rev. São
Paulo: Cengage Learnig, 2008.)
ü
A matemática financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do
valor do dinheiro no tempo. (SHINODA, Carlos. Matemática financeira para
usuários do Excel – São Paulo: Atlas, 1998.)
Este conceito
aparentemente simples possui vários detalhes a serem observados quanto à forma
de estudo e aplicação. Neste trabalho, o leitor terá todas as condições de
verificar e entender sobre as alternativas para atualizar ou corrigir de um
capital, principalmente no PMCMV.
2º QUESTÃO: O que significa juros em Matemática
Financeira?
É o aluguel do
dinheiro. Em outras palavras, é a remuneração obtida a
partir do capital de terceiros, então quando estamos tomando dinheiro
emprestado em uma instituição financeira ou financiamos um imóvel, por exemplo,
na
verdade estamos de fato assinando um contrato de aluguel de dinheiro em função
da contratação de uma operação financeira, por um período tempo determinado.
Esta remuneração pode
ocorrer a partir de dois pontos de vista:
§
de quem pagar: neste caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo,
prejuízo, etc.
§
de quem recebe: podemos entendem como sendo;
rendimento, receita financeira, ganho,
etc.
O financiamento do PMCMV é feito pelos recursos do FTGS e da POUPANÇA,
portanto, nosso próprio dinheiro, neste caso,
bancos e demais instituições autorizadas a operar no PMCMV são
considerados agentes financeiros, ou simplesmente repassadores de recursos.
3ª QUESTÃO: O que exatamente significa a expressão capitalização
de juros em matemática financeira?
Em matemática financeira, a expressão
capitalização de juros, encontra-se diretamente ligado aos sistemas ou métodos
de cálculos, assim definido.
“são sistemas de capitalização de juros, os métodos pelos quais os capitais
são remunerados”.
No Art. 15-A do PMCMV, foi usada a expressão “capitalização de juros”, o que tem
gerado uma grande confusão no mercado, pois muitos entendem que juros
capitalizados ou capitalização de juros são o mesmo que juros compostos ou tabela
price, porém, outros já entendem como sendo o mesmo que anatocismo ou simplesmente juros sobre juros e assim por
diante. Nosso objetivo é demonstrar o que realmente significa a expressão capitalização de juros do ponto de vista da
matemática financeira, ou seja, vamos esclarecer de uma vez por todas,
os desencontros de informações que ocorrem entre as posições da ciência jurídica e a ciência da matemática financeira.
Os sistemas de capitalização de juros podem
sem classificados em:
a) Sistema de Capitalização Simples (SCS);
b) Sistema de Capitalização Composto (SCC).
4ª QUESTÃO: O que são Sistemas de Capitalização Simples
(SCS)?
O Sistema de capitalização simples se baseia nos
conceitos dos cálculos lineares,
como por exemplo: 2 x 3 = 2 + 2 + 2 = 6, ou seja, a soma dos termos são iguais ao produto, consiste no método
de cálculo onde os juros são calculados sempre com base no mesmo capital
inicial (aplicação, empréstimo ou financiamento), como fosse uma progressão
aritmética (PA), ou seja, os juros crescem de forma linear ao longo do tempo.
A base teórica do Sistema de Capitalização Simples
(SCS), leva em consideração os estudos e teorias de Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matemático alemão, considerado
por muitos como maior
gênio da história da matemática. Portanto, não seria nenhum exagero chamar o
Sistema de Capitalização Simples (SCS), de método de Gauss.
Vejamos um exemplo didático:
Seja um capital de R$ 100.000,00 aplicado a uma taxa de 1,00% ao mês,
durante 3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada período pelo Sistema
de Capitalização Simples (SCS)?
Sistema Capitalização
Simples (SCS) ou sistema linear ou método de Gauss
|
n
|
Capital
(C)
|
Juros de cada período
(J = C.i)
|
Valor Acumulado ou
Montante
(M=C+J)
|
|
1
|
R$
100.000,00
|
R$ 100.000,00 x 1% = R$ 1.000,00
|
R$
100.000,00 + R$ 1.000,00 = R$ 101.000,00
|
|
2
|
R$
100.000,00
|
R$ 100.000,00 x 1% = R$ 1.000,00
|
R$
101.000,00 + R$ 1.000,00 = R$ 102.000,00
|
|
3
|
R$
100.000,00
|
R$ 100.000,00 x 1% = R$ 1.000,00
|
R$
102.000,00 + R$ 1.000,00 = R$ 103.000,00
|
Onde: C = capital,
J = juros, i = taxa de juros e M =
montante.
Assim sendo, para
encontramos o montante (M) de pelo Sistema
de Capitalização Simples (SCS), podemos fazer a partir do seguinte fórmula
básica: M=C(1+i.n), onde: M =montante, C=capital, i = taxa de juros e n = períodos.
NOTA: para usarmos a
fórmula básica, devemos trabalhar com taxa de forma decimal (1%/100 = 0,01)
Comprovação do conceito, através da fórmula
básica.
M=C(1+i.n)
M1 =100.000 (1+0,01 x 1) = R$ 101.000,00
M2 =100.000
(1+0,01 x 2) = R$ 102.000,00
M3 =100.000 (1+0,01 x 3) = R$ 103.000,00
M12 =100.000
(1+0,01 x 12) = R$
112.000,00
M360 =100.000 (1+0,01 x 360) = R$ 460.000,00
Se aplicarmos R$ 100.000,00 por 360 meses, teremos
um montante de R$ 460.000,00, ou seja, são R$ 1.000,00 por 360 meses mais o
capital emprestado.
5ª QUESTÃO: O que são Sistemas de Capitalização
Compostos (SCS)?
O Sistema de
capitalização composto se baseia nos conceitos dos cálculos
exponeciais, como por exemplo: 23 = 2 x 2 x 2 = 8, portanto, consiste no método de cálculo onde os juros calculados a
cada período, são somados ao capital, formando o montante (C+J) do período. Este
montante (C+J), por sua vez, será base para o cálculo dos juros (J) do período
seguinte, formando assim um novo montante (C+J) e assim por diante. Neste
método os juros crescem de forma exponencial.
Tal prática é conhecida como Juros Compostos, ou simplesmente
juros
sobre juros. No Brasil, a justiça usa o termo anatocismo para fazer
referência ao método dos juros compostos, sua proibição é apontada na Lei da
Usura, Decreto 22.626 de 07 de abril de 1933 – Art. 4º. E proibido contar juros dos juros: esta proibição não compreende a
acumulação de juros vencidos aos saldos líquidos em conta corrente de ano a
ano. E ainda temos na Súmula 121, do Supremo Tribunal Federal “É
vedada a capitalização de juros, ainda que expressamente convencionadas”
A base teórica do Sistema de Capitalização Composto
(SCC), leva em consideração os conceitos fundamentais dos cálculos exponenciais, fundamentado nas pesquisas de modelos
estatísticos de Richard Price (1723-1791), para o ramo de seguros. A partir destas pesquisas, em
1771, Price publica sua obra final sobre o assunto, apresenta suas tabelas de
mortalidade, onde o objetivo principal seria atender o ramo de seguros
privados.
Tomando
como base os dados do exemplo didático apresentado na 4ª questão, temos a seguinte aplicação prática:
Sistema de Capitalização Composto (SCC) ou
sistema exponencial ou método da
Tabela Price
|
n
|
Capital
(C)
|
Juros de cada período
(J = C.i)
|
Valor Acumulado ou
Montante
(M=C+J)
|
|
1
|
R$
100.000,00
|
R$ 100.000,00 x 1% = R$ 1.000,00
|
R$
100.000,00 + R$ 1.000,00 = R$ 101.000,00
|
|
2
|
R$
101.000,00
|
R$ 100.000,00 x 1% = R$ 1.010,00
|
R$
101.000,00 + R$ 1.010,00 = R$ 102.010,00
|
|
3
|
R$
102.010,00
|
R$ 100.000,00 x 1% = R$ 1.020,10
|
R$
102.000,00 + R$ 1.000,00 = R$ 103.030,10
|
Onde: C = capital,
J = juros, i = taxa de juros e M =
montante.
Assim sendo, para
encontramos o montante (M) de pelo Sistema
de Capitalização Composto (SCC), podemos fazer a partir do seguinte fórmula
básica: M=C(1+i)n, onde: M = montante, C=capital, i=taxa de juros e n=períodos.
NOTA: para usarmos a
fórmula básica, devemos trabalhar com taxa de forma decimal (1%/100 = 0,01)
Comprovação do conceito, através da fórmula
básica.
M=C(1+i)n
M1 =100.000 (1,01)1 =
R$ 101.000,00
M2 =100.000
(1,01)2 = R$ 102.010,00
M3 =100.000 (1,01)3 = R$ 103.030,10
M12 =100.000
(1,01)12 = R$
112.682,50
M360 =100.000 (1,01)360 = R$ 3.594.964,13
Se aplicarmos R$ 100.000,00 por 360 meses, teremos
um montante de R$ 3.594.964,13, ou seja, são R$ 1,01360meses multiplicado pelo capital emprestado.
No PMCMV, foi dada a possibilidade de
aplicação de juros compostos, através do Sistema de Amortização Francês (Tabela
Price) e Sistema de Amortização (SAC), que explicaremos na questão a seguir.
5ª QUESTÃO: O que
são Sistemas de Amortização a Juros Compostos?
São sistemas
de amortização de juros de forma periódica, construídos a partir dos conceitos
dos cálculos exponenciais e com base nos dados das 4ª e 5ª questões, vamos
exemplificar:
a)
Sistema de Amortização Francês (SFA) – Tabela Price
Valor Financiado: R$ 100.000,00 i = 1% ao mês e n = 12 meses
|
n
|
Saldo Devedor
|
Amortização
|
Juros
|
Prestação
|
Prestação Atualizada
1% a.m.
|
|
0
|
100.000,00
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
|
|
1
|
92.115,12
|
7.884,88
|
1.000,00
|
8.884,88
|
9.912,58
|
|
2
|
84.151,39
|
7.963,73
|
921,15
|
8.884,88
|
9.814,43
|
|
3
|
76.108,02
|
8.043,36
|
841,51
|
8.884,88
|
9.717,26
|
|
4
|
67.984,22
|
8.123,80
|
761,08
|
8.884,88
|
9.621,05
|
|
5
|
59.779,18
|
8.205,04
|
679,84
|
8.884,88
|
9.525,79
|
|
6
|
51.492,09
|
8.287,09
|
597,79
|
8.884,88
|
9.431,48
|
|
7
|
43.122,13
|
8.369,96
|
514,92
|
8.884,88
|
9.338,10
|
|
8
|
34.668,47
|
8.453,66
|
431,22
|
8.884,88
|
9.245,64
|
|
9
|
26.130,27
|
8.538,19
|
346,68
|
8.884,88
|
9.154,10
|
|
10
|
17.506,69
|
8.623,58
|
261,30
|
8.884,88
|
9.063,46
|
|
11
|
8.796,88
|
8.709,81
|
175,07
|
8.884,88
|
8.973,73
|
|
12
|
0,00
|
8.796,91
|
87,97
|
8.884,88
|
8.884,88
|
|
|
Totais
|
100.000,00
|
6.618,55
|
106.618,55
|
112.682,50
|
Se aplicarmos a fórmula
básica dos juros compostos: M=C(1+i)n , M=100.000(1,01)12 onde M=R$ 112.682,50
Neste exemplo
fica evidenciada a prática dos juros compostos no Sistema de Amortização
Francês (SFA, também conhecido com Tabela Price.
b)
Sistema de Amortização Constante (SAC)
c)
Valor Financiado: R$ 100.000,00 i = 1% ao mês e n = 12 meses
|
n
|
Saldo Devedor
|
Amortização
|
Juros
|
Prestação
|
Prestação Atualizada
1% a.m.
|
|
0
|
100.000,00
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
|
|
1
|
91.666,67
|
8.333,33
|
1.000,00
|
9.333,33
|
10.412,90
|
|
2
|
83.333,33
|
8.333,33
|
916,67
|
9.250,00
|
10.217,75
|
|
3
|
75.000,00
|
8.333,33
|
833,33
|
9.166,66
|
10.025,45
|
|
4
|
66.666,67
|
8.333,33
|
750,00
|
9.083,33
|
9.835,95
|
|
5
|
58.333,33
|
8.333,33
|
666,67
|
9.000,00
|
9.649,22
|
|
6
|
50.000,00
|
8.333,33
|
583,33
|
8.916,67
|
9.465,22
|
|
7
|
41.666,67
|
8.333,33
|
500,00
|
8.833,33
|
9.283,92
|
|
8
|
33.333,33
|
8.333,33
|
416,67
|
8.750,00
|
9.105,29
|
|
9
|
25.000,00
|
8.333,33
|
333,33
|
8.666,67
|
8.929,28
|
|
10
|
16.666,67
|
8.333,33
|
250,00
|
8.583,33
|
8.755,86
|
|
11
|
8.334,33
|
8.333,33
|
166,67
|
8.500,00
|
8.585,00
|
|
12
|
0,00
|
8.333,33
|
83,33
|
8.416,67
|
8.416,67
|
|
|
Totais
|
100.000,00
|
6.500,00
|
106.618,55
|
112.682,50
|
Como é
possível perceber, o valor das prestações calculadas pelo Sistema de
Amortização Constante (SAC), quando atualizadas para o final do financiamento
(após 12 meses) teremos o valor R$
112.682,50, exatamente igual ao valor das prestações calculadas pelo
Sistema de Amortização Francês (SFA) – Tabela Price, quando também atualizadas
para o final do financiamento, lembrando que as atualizações em ambos os casos,
ocorreram pela de 1% ao mês.
Portanto, podemos afirmar
com total segurança que método da Tabela
Price é equivalente ao método SAC,
e que ambos contemplam a prática dos juros
compostos e consequentemente do anatocismo.
Lembrando os
Sistemas de Amortização a Juros Compostos – Tabela Price e Sistema Amortização
Constante – SAC, contam do Art. 15-B, §3o como sistemas
de amortização estão apresentados para PMCMV, além do sistema SACRE inventado
pela Caixa Econômica Federal (CAIXA).
Diante desta
situação não podemos ficar sem questionar o que deveria considerado como obvio
e fazer alguns questionamentos diretos e objetivos:
i.
Como podemos aceitar que o Governo Federal financie nossos próprios
imóveis, com nosso próprio dinheiro (FGTS/POPANÇA) através de um Sistema de Amortização a Juros
Compostos perverso?
ii.
Se a Tabela Price é equivalente ao sistema SAC, e por muitos anos foi
considerado como um método mais vantajoso para o mutuário, não se trata de
propaganda enganosa?
iii.
Será que estamos fadados a ter que engolir este tipo de prática?
iv.
Se em nosso ordenamento jurídico, já consta previsão de ilegalidade
sobre a Tabela Price, por quê os bancos continuam praticando tal procedimento?
6ª QUESTÃO:
Existe outro sistema que possa atender o PMCMV?
Sim, Temos o Sistema de Amortização a Juros Simples,
que tem sua base teórica nos cálculos lineares, vejamos como seria uma
aplicação com os mesmos dados do aplicados a Price e SAC.
a)
Sistema de Amortização a Juros Simples (método de Gauss)
Valor Financiado: R$ 100.000,00 i = 1% ao mês e n = 12 meses
|
n
|
Saldo Devedor
|
Amortização
|
Juros
|
Prestação
|
Prestação Atualizada
1% a.m.
|
|
0
|
100.000,00
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
0,00
|
|
1
|
94.101,11
|
7.898,89
|
947,87
|
8.846,76
|
9.819,90
|
|
2
|
84.123,22
|
7.977,88
|
868,88
|
8.846,76
|
9.731,44
|
|
3
|
76.066,35
|
8.056,87
|
789,89
|
8.846,76
|
9.642,97
|
|
4
|
67.930,49
|
8.135,86
|
710,90
|
8.846,76
|
9.554,50
|
|
5
|
59.715,64
|
8.214,85
|
631,91
|
8.846,76
|
9.466,03
|
|
6
|
51.421,80
|
8.293,84
|
552,92
|
8.846,76
|
9.377,57
|
|
7
|
43.048,97
|
8.372,83
|
473,93
|
8.846,76
|
9.289,10
|
|
8
|
34.597,16
|
8.451,82
|
394,94
|
8.846,76
|
9.200,63
|
|
9
|
26.066,35
|
8.530,81
|
315,96
|
8.846,76
|
9.112,16
|
|
10
|
17.456,56
|
8.609,79
|
236,97
|
8.846,76
|
9.023,70
|
|
11
|
8.767,77
|
8.688,78
|
157,98
|
8.846,76
|
8.935,23
|
|
12
|
0,00
|
8.767,77
|
78,99
|
8.846,76
|
8.846,78
|
|
|
Totais
|
100.000,00
|
6.618,55
|
106.161,12
|
112.000,00
|
Em 12 meses,
parece ser muito pequena diferença entre os Sistemas, portanto, vamos fazer uma
evolução para 360 meses, neste caso, trataremos o método da Tabela
Price e o Sistema SAC como iguais, pois já provamos sua equivalência a
juros compostos.
CONCLUSÃO TÉCNICAS, RECOMENDAÇÕES E OBSERVAÇÕES
Concluímos
nosso trabalho para uma realidade triste e lamentável, a saber:
Identificamos e comprovamos a existência de juros compostos (juros
sobre juros) pelo uso da tabela price através do Sistema Francês de Amortização
(SFA) e no Sistema de Amortização Constante (SAC), pois verificamos a
equivalência entres os métodos e assim sendo, a evidencia da prática de anatocismo.
Nossa recomendação é para que nos programas habitacionais para famílias
de até 3 (três) salários mínimos, devem ser financiado com recursos públicos,
dos orçamentos dos governos, adotando-se como método, o Sistema de Amortização
a Juros Simples, apresentado neste trabalho, pois estamos tratando de um
projetos social de habitação e não de um simples financiamento imobiliário.
Nosso posicionamento como professor de Matemática Financeira e também
como cidadão, é pela exclusão da Tabela
Price e demais sistemas semelhantes da Lei 11.977/09 – Programa do Governo
Federal Minha Casa, Minha Vida, por se tratar de prática perversa e danosa
contra aqueles que não possuem o conhecimento básico e fundamental para
entender os efeitos malignos contido nos métodos de cálculos que contemplam os
fundamentos dos juros compostos. Deixar aplicar a Tabela Price em financiamento imobiliário é no mínimo um ato de
irresponsabilidade do Governo Federal e dos políticos que aprovaram o PMCMV.
São Paulo
(SP), 15 de novembro de 2009.
Anísio Costa Castelo Branco
CRA/SP 66.199
